Thực đơn
E (số)
Hàm mũ ex rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó:
d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}và do đó cũng có nguyên hàm bằng chính nó:
∫ e x d x = e x + C . {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}e là số thực duy nhất sao cho
( 1 + 1 x ) x < e < ( 1 + 1 x ) x + 1 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}với mọi số dương x.[24]
Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức
e x ≥ x + 1 {\displaystyle e^{x}\geq x+1}với mọi số thực x, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Hơn nữa, e là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức ax ≥ x + 1 đúng với mọi x.[25] Đó là một trường hợp giới hạn của bất đẳng thức Bernoulli.
Bài toán Steiner yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f ( x ) = x 1 x . {\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}Giá trị lớn nhất này đạt được tại x = e. Để chứng minh, từ bất đẳng thức e y ≥ y + 1 {\displaystyle e^{y}\geq y+1} ở trên, đặt y = ( x − e ) / e {\displaystyle y=(x-e)/e} rồi rút gọn thì ta có e x / e ≥ x {\displaystyle e^{x/e}\geq x} . Do đó e 1 / e ≥ x 1 / x {\displaystyle e^{1/e}\geq x^{1/x}} với mọi số dương x.[26]
Tương tự, x = 1/e là điểm để hàm số
f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)=x^{x}}đạt giá trị nhỏ nhất với x là số dương. Tổng quát hơn, hàm số
f ( x ) = x x n {\displaystyle f(x)=x^{x^{n}}}với x là số dương đạt giá trị lớn nhất tại x = 1/e khi n < 0 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = e−1/n khi n > 0.
Túc thừa vô hạn
x x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} hay ∞ x {\displaystyle {^{\infty }}x}hội tụ khi và chỉ khi e−e ≤ x ≤ e1/e (hay x nằm giữa 0,0660 và 1,4447) theo một định lý của Leonhard Euler.[27]
Số thực e là một số vô tỉ. Euler chứng minh được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của nó có thể được mở rộng ra vô hạn.[28][29][lower-alpha 1] Hơn nữa, theo định lý Lindemann–Weierstrass, e là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. Charles Hermite chứng minh được điều này vào năm 1873.[30]
Có phỏng đoán cho rằng e là số bình thường, có nghĩa là khi e được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số trong hệ đếm đó được phân bố đồng đều nhau (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ chuỗi nào với độ dài cho trước).[31]
Hàm mũ ex có thể được viết thành chuỗi Taylor:[32]
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}Vì chuỗi trên hội tụ với bất kỳ giá trị phức nào của x nên nó có thể được dùng để mở rộng khái niệm ex cho số phức. Cùng với chuỗi Taylor cho sin x và cos x, ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức x:
e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}Trường hợp đặc biệt với x = π là đồng nhất thức Euler:
e i π + 1 = 0 , {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}từ đó suy ra, trong nhánh chủ yếu của logarit,
ln ( − 1 ) = i π . {\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}Hơn nữa, áp dụng các công thức lũy thừa,
( cos x + i sin x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ( n x ) + i sin ( n x ) , {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}đó chính là công thức de Moivre.
Biểu thức
cos x + i sin x {\displaystyle \cos x+i\sin x}còn được ký hiệu là cis(x).[33]
Ta cũng suy ra được các biểu thức biểu diễn sin x {\displaystyle \sin x} và cos x {\displaystyle \cos x} theo các hàm mũ:
sin x = e i x − e − i x 2 i , cos x = e i x + e − i x 2 . {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}Họ các hàm số
y ( x ) = C e x , {\displaystyle y(x)=Ce^{x},}với C là số thực, là nghiệm của phương trình vi phân
y ′ = y . {\displaystyle y'=y.}Thực đơn
E (số)Liên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: E (số)